线性代数概念
1.Rank of Matrix（矩阵的秩）
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)。
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此可以简单地称作矩阵A的秩。
这里以行秩来说，我们可以通过行变换，将具有线性依赖的不同行以其中某些行为基，其他行都可以转化为全0。rank(A)就是经过行变换后得到的非全0行数，且这些行已经不再具有线性依赖。
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \\
-2 & -3 & 1 \\
3 & 5 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\
rank(A) = 2
$$
2.矩阵的行列式
行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。
列举一个简单的二阶行列式和三阶行列式的例子。
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
\\
|A| = 1∗4 - 2∗3=-2
$$
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix} \\
|A| = 1 ∗ (5 ∗ 9 - 6 ∗ 8) + 2 ∗ (6 ∗ 7 - 4 ∗ 9) + 3 ∗ (4 ∗ 8 - 5 ∗ 7)
$$
对于任意阶行列式，都可以改写为第一行每一个元素乘以去掉其对应行和列后得到的n-1阶矩阵的行列式（如果这个删去的元素前面有列，则需要把这些列放到最后），将每一个第一行元素这样做得到的结果叠加就是n阶行列式。
3.伴随矩阵A*
A的伴随矩阵可按如下步骤定义：
1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式；
（代数余子式定义：在一个n阶行列式A中,把 (i,j)元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元aij的余子式，记做Mij:
$$
A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}
$$
Aij就是(i,j)元aij的代数余子式，这是一个数值
2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵
4.矩阵的逆
设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。
若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。
可逆矩阵一定是方阵。
可逆矩阵的转置矩阵也可逆。
可逆矩阵的乘积依然可逆。
矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
逆矩阵的求解：
$$
A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{∗}
$$
5.特征值和特征向量
Xv = λv
X是个n阶矩阵，v是X的特征向量，λ则是这个特征向量对应的特征值。
矩阵X可以理解为是对于一个向量的旋转拉伸变化，但是对于特征向量来说，矩阵只对其作了拉伸，而并未做旋转，那么特征值就是对应拉伸的程度。
参考资源：
