伽罗华域
域
一组元素的集合，以及在集合上的四则运算，构成一个域。其中加法和乘法必须满足交换、结合和分配的规律。加法和乘法具有封闭性，即加法和乘法结果仍然是域中的元素。
域中必须有加法单位元和乘法单位元，且每一个元素都有对应的加法逆元和乘法逆元。但不要求域中的 0有乘法逆元。
有限域
仅含有限多个元素的域。因为它由伽罗华所发现，因而又称为伽罗华域。所以当我们说伽罗华域的时候，就是指有限域。
GF（2^w）表示含有2^w个元素的有限域。
GF（2^w）上的多项式运算
对于GF（2^w）上的多项式计算，多项式系数只能取 0或1。（如果是GF(3^w)，那么系数可以取 0、 1、 2）。
GF（2^w）的多项式加法中，合并阶数相同的同类项时，由于0+0=0,1+1=0,0+1=1+0=1，因此系数不是进行加法操作，而是进行异或操作。
GF（2^w）的多项式减法等于加法，例如x ^4 – x^4就等于x^4 + x^4。
伽罗华域
有限域GF(p)
有限域GF(p)，其中p为素数。伽罗华域取p为素数是为了保证有限域中的每一个元素都有逆元(0除外)。根据费马小定理很容易得出p为素数的时候所有不能整除p的正整数k都具有逆元 $k^{p-2} \quad \because k^{p-1}=1 (mod \space p)$。
GF(p)里面的加法和乘法与一般的加法和乘法差不多，区别是结果需要mod p，以保证结果都是域中的元素。GF(p)的加法和乘法单位元分别是 0和1。
GF(p)加法是(a+b) mod p，乘法是(a*b)mod p。
对于域中的乘法，当p为素数时，才能保证集合中的所有的元素都有乘法逆元(0除外)。即对于域中的任一个元素a，总能在域中找到另外一个元素b，使得a*b mod p 等于1。
说明：假如p等于10，其乘法单位元为1。对于元素2，找不到一个数a，使得2*a mod 10 等于1，即2没有乘法逆元。这时，在域上就不能进行除2运算。
有限域GF(2^w)
GF(p)中p必须是一个素数，才能保证集合中的所有元素都有加法和乘法逆元(0除外)。但实际应用中，很多场合需要 0到255这256个数字能组成一个域。但256不是素数，小于256的最大素数为251，如果直接把大于等于251的数截断为250，则会丢失一部分数据。
因此引入了GF(p^w)，其中p为素数，通常取p=2。计算机领域中经常使用的是GF(2^8)，8刚好是一个字节的比特数。为了保证单位元性质，GF(2^w)上的加法运算和乘法运算，不再使用一般的加法和乘法，而是使用多项式运算。
本原多项式
伽罗华域的元素可以通过该域上的本原多项式生成。通过本原多项式得到的域，其加法单位元都是 0，乘法单位元是1。
以GF(2^w)，w=3为例，指数小于3的多项式共8个： 0， 1， x， x+1， x^2， x^2+1， x^2 + x， x^2+x+1。其系数刚好就是000,001, 010, 011, 100, 101, 110, 111，是0 到7这8个数的二进制形式。
对于w=3来说具有多个本原多项式，选其中一个$P(x) = x^3+x+1$，本原多项式表示了任意有限域中的元素都是对于本原多项式取模，比如计算$x^2+x$的逆元可得$x+1$
$$
对于GF(2^w)的有限域来说，系数项只能为0和1，如果不是0和1则对应取模2得到0、1 \\
\begin {aligned}
\because (x^2+x)(x+1) \space mod \space (x^3+x+1) & = x^3+2x^2+x \space mod \space (x^3+x+1) \\
& = x^3+x \space mod \space (x^3+x+1) \\
& = -1 \space mod \space (x^3+x+1) \\
& = 1 \space mod \space (x^3+x+1)
\end{aligned} \\
\therefore inv(x^2+x) = x+1
$$
部分常用的本原多项式通过本原多项式生成元素
设P(x)是GF(2^w)给定的对应w值的某一个本原多项式，彩笔可以查表所得(~)
通过不断对P(x)取模，就可以将x^0 , x^1 , … , x^n表示出来。表示成的是一个<w次的多项式，然后遇到可化简的对应系数项，进行从高次到低次的化简即可。
