正交矩阵的定义
如果Q是一个正交矩阵，$\mathbf Q = [q_1 , q_2 , … , q_n]$
会使得：
$$
\mathbf Q ∗ \mathbf {Q^T} = \mathbf I \quad (1)\\
\mathbf {Q^T} = \mathbf {Q^{-1}} \quad (2)\\
根据(1)可得对于任意两个q中的列向量 \\
q_i∗q_j =
\begin{cases}
1 & if(i=j)\\
0 & if(i<>j)
\end{cases}
$$
正交矩阵相关定理及证明
- 如果Q是一个n阶的正交矩阵，那么$Q^TAQ$所得到的一定是一个对角矩阵B，对角矩阵B可表达为：
$$
B = \begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 & \vdots \\
\vdots & 0 & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & \lambda_n
\end{bmatrix}
$$
证明
$$
Q^T对应的每一项是q^T_{ij} \\
Q对应的每一项是q_{ij} \\
A对应的每一项是a_{ij} \\
那么可知: \\
1.\quad q_{ij} = q^T_{ji} \\
2.\quad \sum_{k=1}^n{p_{ik}∗p_{jk}} = \sum_{k=1}^n{p_{ki}∗p_{kj}}
\begin{cases}
1 & if(i=j)\\
0 & if(i<>j)
\end{cases}\\
令Q^TA = X \\
XQ_{ij} = \sum_k{X_{ik}∗q_{kj}} = \sum_{k}{q_{kj}} \sum_{p}{q^T_{ip}a_{pj}} \\
=\sum_p{q_{pj}} \sum_{k}{q_{ki}∗a_{kj}} = \sum_{k}{a_{kj}} \sum_{p}{q_{pj}{q_{pi}}}
$$
很明显到了最后一步最后那个叠加部分，可以根据第2号式子得到 :
i!=j 的时候对应矩阵位置为0
i=j 就是$\sum{a_{kj}} = \lambda_i = \lambda_j$
